什么是积分？积分的定义是什么？

小九九

积分是数学中的一个重要概念，它涉及到函数在某一区间上的取值情况。积分的定义如下：

设函数 f(x) 在区间[a, b]上有定义，在区间[a, b]中任意插入若干个分点 a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b，把区间[a, b]分成 n 个小区间[x_i-1, x_i]，使区间长度△x_i = x_i - x_i-1 (i = 1, 2, ..., n)，在每个小区间[x_i-1, x_i]上任取一点ξ_i (x_i-1 ≤ ξ_i ≤ x_i)，作函数值 f(ξ_i)与小区间长度△x_i 的乘积 f(ξ_i)△x_i，并作出和 S_n = ∑_{i=1}^n f(ξ_i)△x_i，如果不论对区间[a, b]作怎样的分法，也不论在小区间上怎样取点，只要当 n → ∞ 时，S_n 的极限总存在，则称函数 f(x) 在区间[a, b]上可积，S_n 的极限值就称为函数 f(x) 在区间[a, b]上的积分，记作

∫_a^b f(x)dx

或者

lim_{n \to ∞} S_n

其中，a 称为积分下限，b 称为积分上限，区间[a, b]称为积分区间，f(x)称为被积函数，x 称为积分变量。

根据积分的定义，我们可以得到一些重要的结论，例如：
1. 如果函数 f(x) 在区间[a, b]上可积，那么 f(x) 在区间[a, b]上一定有界。
2. 如果函数 f(x) 在区间[a, b]上连续，那么 f(x) 在区间[a, b]上可积，且积分值等于函数在区间[a, b]上的曲线与 x 轴